Vetores

Determinado por um segmento orientado AB, é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.

Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

onde XY é um segmento qualquer do conjunto.

O vetor determinado por AB é indicado por ou B - A ou .
Um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, os quais são todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Consequentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.

As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.

O módulo de se indica por || .

Soma de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (a+c,b+d)

Amanda Rodrigues .

Planeta dos Macacos

O filme mostra como a terra involuiu que quer dizer voltar para tras, alguns milenios enquanto os astronautas estavam em orbita, os homens viraram os bichos dos macacos e não sabiam nem mais falara quem falava eram os macacos, só que os mais evoluidos proibiam os outros macacos a visitarem o que eles chamavam terra proibida, pois sabiam que lá estavam as provas de que o homem e não o macaco era o mais inteligente .

Daniela Andrade .

Planeta dos Macacos

Uma nave espacial lançada da Terra viaja à velocidade da luz com quatro tripulantes, voluntários da missão que tenta provar que nessas condições o tempo passaria mais devagar para eles do que para quem ficou no planeta. Ao despertarem de uma hibernação induzida depois de uma viagem de 18 meses de seu tempo, o comandante Taylor comprova que na Terra já teriam se passado dois mil anos e que a teoria estava correta. A nave cai no mar de um planeta desconhecido e os tripulantes tem que abandoná-la às pressas, antes que a mesma afundasse. Agora são apenas três, pois um deles, a astronauta e única mulher do grupo chamada Stewart, morreu devido a um vazamento de ar em sua máquina de hibernação.

Quando chegam à terra firme, os astronautas à princípio não encontram sinais de vida mas continuam procurando pois só dispõe de comida e água para três dias. Depois de uma longa caminhada, eles encontram os primeiros nativos, homens selvagens que não falam e que roubam seus equipamentos e roupas. Logo depois, os astronautas descobrem outra espécie nativa: violentos macacos que falam, se locomovem usando cavalos e atiram com rifles e não demonstram qualquer piedade ao matarem os humanos que encontram.

Taylor é ferido na garganta e fica incapaz de falar, enquanto seus dois companheiros não tem melhor sorte: um é morto e o outro desaparece. Taylor é levado para o laboratório da doutora psiquiatra de "animais" Zira que examina o cérebro dos humanos capturados, pois desconfia que os macacos são descendentes dos homens, teoria combatida pelo Doutor Zaius, chefe da religião e da ciência da comunidade símia. Ao se curar do ferimento e conseguir falar, Taylor é perseguido por Zaius que também ataca Zira e seu noivo, o arqueólogo Cornelius. A única forma de se livrarem da perseguição do doutor é provarem que as teorias negadas por ele são verdadeiras e assim Zira, Cornélius e Taylor fogem com a ajuda de outros companheiros e tentam achar provas no sítio arqueológico descoberto antes por Cornélius, que fica na misteriosa "Zona Proibida

Bruna Martins .

A Última Hora ;

O filme nos mostra a realidade do que esta acontecendo com o meio ambiente, suas mudanças e tragédias causadas pela própria humanidade. Nós seres humanos somos os principais causadores da destruição da natureza, devido ao dematamento, inundações, erupções, matança de animais, vendavais e incêndios são as causas das mudanças climáticas e sua consequência vem sendo o maior problema da humanidade nos últimos anos. Enfim, nesse filme nos mostra como nós seres humanos somos inteligentes para criar coisas para nossa melhoria de vida, mas não somos capazes de solucionar os problemas causados por essa inteligência.

"É preciso que a humanidade consiga fazer algo que possa melhorar o planeta para que possamos ter um futuro sustentável. "

Equipe: Thainá, Gustava, Denner, Sávio, Igor, Juliana, Rayanne, Thiago, Rosyane e Thatiana ;

Vetores

Vetor: é um segmento de reta que tem que ter uma orientação.

O1 - Características de um Vetor:

*Módulo: é o tamanho do vetor.

*Direção: horizontal, vertical e inclinada.

*Sentido: é representado pela reta.

O2 - Regra do Paralelogramo:

*Determina a direção e o sentido do vetor soma.

O3 - Teorema de Pitágoras:

*Determina o módulo do vetor soma.

O4 - Regra do Polígono:

*Também determina a direção e o sentido do vetor soma.

O5 - Leio dos Cossenos:

*Determina o módulo do vetor soma.

cos 12O° = -cos 6O °

cos 15O° = -cos 3O °

cos 1OO°= -cos 80°

Equipe: Juliana, Gustavo, Geraldo e Thainá ;*

Grandezas Vetoriais

Grandezas físicas que não ficam totalmente determinadas com um valor e uma unidade são chamadas de grandezas vetoriais. As grandezas que ficam totalmente expressas por um valor e uma unidade são chamadas de grandezas escalares. Como exemplo de grandeza escalar temos a massa. Já as grandezas vetoriais, para que fiquem totalmente definidas necessitam de:

* Um Valor (módulo);
* Uma Unidade;
* Uma Direção;
* Um sentido.

Como exemplos de grandeza vetorial temos:
Velocidade, força, aceleração, etc.

Um vetor por sua vez tem três características: módulo, direção e sentido.

Para representar graficamente um vetor usamos um segmento de reta orientado.


O módulo do vetor, representa numericamente o comprimento de sua seta. No caso anterior, o módulo do vetor é igual a distância entre os pontos A e B, que por sua vez vale 3 u.

Para indicar vetores usamos as seguintes notações:


O módulo de um vetor é indicado utilizando-se duas barras verticais.

|A| (Lê-se: módulo de A)



Adição de Vetores
Podemos somar dois ou mais vetores, para obter um vetor soma.

Regra do polígono:
Ligam-se os vetores origem com extremidade. O vetor soma é o que tem origem na origem do 1º vetor e extremidade na extremidade do último vetor.




Subtração de Vetores
Para subtrair dois vetores adicionamos um deles ao oposto do outro.




Vetor x Número Real
O produto de um número real n por um vetor A, resulta em um vetor R com sentido igual ao de A se n for positivo ou sentido oposto ao de A se n for negativo. O módulo do vetor R é igual a n x |A|.




Decomposição de Vetores
A decomposição de vetores é usada para facilitar o cálculo do vetor resultante.


Seja um vetor R resultado da seguinte operação: R = A + B


Onde:
Rx = Ax + Bx

Ry = Ay + By

Flávia Boechat - 2001

Vetores

Determinado por um segmento orientado AB, é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.

Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

onde XY é um segmento qualquer do conjunto.

O vetor determinado por AB é indicado por ou B - A ou .
Um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, os quais são todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Consequentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.

As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.

O módulo de se indica por || .

Soma de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (a+c,b+d)

Propriedades da Soma de vetores

Diferença de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:

v - w = (a-c,b-d)

Produto de um número escalar por um vetor

Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v como:

c.v = (ca,cb)

Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:

Módulo de um vetor

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:

Vetor unitário

Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R², que são dados por:

i = (1,0) j = (0,1)

Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

Observação:
Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv, onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos:

Se c = 0, então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1, então u terá comprimento menor do que v.
Se c > 1, então u terá comprimento maior do que v.
Se c < 0, então u terá sentido oposto ao de v.

Decomposição de vetores em Vetores Unitários

Para fazer cálculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se apresenta, pode-se decompor este vetor em vetores unitários em cada um dos planos apresentados.

Sendo simbolizados, por convenção, î como vetor unitário do plano x e como vetor unitário do plano y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em três dimensões, o vetor utilizado para o plano z é o vetor unitário .

Então, a projeção do vetor no eixo x do plano cartesiano será dado por , e sua projeção no eixoy do plano será: . Este vetor pode ser escrito como:

=(,), respeitando que sempre o primeiro componente entre parênteses é a projeção em x e o segundo é a projeção no eixo y. Caso apareça um terceiro componente, será o componente do eixo z.

No caso onde o vetor não se encontra na origem, é possível redesenhá-lo, para que esteja na origem, ou então descontar a parte do plano onde o vetor não é projetado.

Produto escalar

Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d) definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:

u.v = a.c + b.d

Exemplos:

O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:

u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14

O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:

u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19

Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:

Ângulo entre dois vetores

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:

u.v = |u| |v| cos(x)

onde x é o ângulo formado entre u e v.

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como, desde que nenhum deles seja nulo.

Geraldo Jr turma:2001

Vetores:

Determinado por um segmento orientado AB, é o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB.

Se indicarmos com este conjunto, simbolicamente poderemos escrever:

onde XY é um segmento qualquer do conjunto.

O vetor determinado por AB é indicado por ou B - A ou .
Um mesmo vetor é determinado por uma infinidade de segmentos orientados, chamados representantes desse vetor, os quais são todos equipolentes entre si. Assim, um segmento determina um conjunto que é o vetor, e qualquer um destes representantes determina o mesmo vetor. Usando um pouco mais nossa capacidade de abstração, se considerarmos todos os infinitos segmentos orientados de origem comum, estaremos caracterizando, através de representantes, a totalidade dos vetores do espaço. Ora, cada um destes segmentos é um representante de um só vetor. Consequentemente, todos os vetores se acham representados naquele conjunto que imaginamos.

As características de um vetor são as mesmas de qualquer um de seus representantes, isto é: o módulo, a direção e o sentido do vetor são o módulo, a direção e o sentido de qualquer um de seus representantes.

O módulo de se indica por || .

Soma de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (a+c,b+d)

Propriedades da Soma de vetores

Diferença de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:

v - w = (a-c,b-d)

Produto de um número escalar por um vetor

Se v=(a,b) é um vetor e c é um número real, definimos a multiplicação de c por v como:

c.v = (ca,cb)

Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w vetores:

Módulo de um vetor

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:

Vetor unitário

Vetor unitário é o que tem o módulo igual a 1.

Existem dois vetores unitários que formam a base canônica para o espaço R², que são dados por:

i = (1,0) j = (0,1)

Para construir um vetor unitário u que tenha a mesma direção e sentido que um outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

Observação:
Para construir um vetor u paralelo a um vetor v, basta tomar u=cv, onde c é um escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão paralelos:

Se c = 0, então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1, então u terá comprimento menor do que v.
Se c > 1, então u terá comprimento maior do que v.
Se c < 0, então u terá sentido oposto ao de v.

Decomposição de vetores em Vetores Unitários

Para fazer cálculos de vetores em apenas um dos planos em que ele se apresenta, pode-se decompor este vetor em vetores unitários em cada um dos planos apresentados.

Sendo simbolizados, por convenção, î como vetor unitário do plano x e como vetor unitário do plano y. Caso o problema a ser resolvido seja dado em três dimensões, o vetor utilizado para o plano z é o vetor unitário .

Então, a projeção do vetor no eixo x do plano cartesiano será dado por , e sua projeção no eixoy do plano será: . Este vetor pode ser escrito como:

=(,), respeitando que sempre o primeiro componente entre parênteses é a projeção em x e o segundo é a projeção no eixo y. Caso apareça um terceiro componente, será o componente do eixo z.

No caso onde o vetor não se encontra na origem, é possível redesenhá-lo, para que esteja na origem, ou então descontar a parte do plano onde o vetor não é projetado.

Produto escalar

Dados os vetores u=(a,b) e v=(c,d) definimos o produto escalar entre os vetores u e v, como o número real obtido por:

u.v = a.c + b.d

Exemplos:

O produto escalar entre u=(3,4) e v=(-2,5) é:

u.v = 3.(-2) + 4.(5) = -6+20 = 14

O produto escalar entre u=(1,7) e v=(2,-3) é:

u.v = 1.(2) + 7.(-3) = 2-21 = -19

Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores, u v e w e k escalar:

Ângulo entre dois vetores

O produto escalar entre os vetores u e v pode ser escrito na forma:

u.v = |u| |v| cos(x)

onde x é o ângulo formado entre u e v.

Através desta última definição de produto escalar, podemos obter o ângulo x entre dois vetores genéricos u e v, como,

desde que nenhum deles seja nulo.

Liliane Vioti, 2001